Question

直线l过点（1，0），且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，则直线l的方程为

 

．

Answer 1

分析：分两种情况考虑，①直线l的斜率存在时设出直线的斜率，根据过（1，0）和斜率写出直线l的方程，然后分别与两平行线联立分别表示出直线l与平行线的两个交点坐标，利用两点间的距离公式根据直线l被两平行直线所截得的线段长为9列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；②当斜率不存在时显然x=1满足条件，综上即可得到直线l的方程．

解答：解：①当直线l的斜率存在时设斜率为k，由直线l过（1，0）得到直线l的方程为y=k（x-1）
则联立直线l与3x+y-6=0得

y=k(x-1) 3x+y-6=0

解得

x= 6+k 3+k y= 3k 3+k

，所以交点坐标为（

6+k

3+k

，

3k

3+k

）；同理直线l与3x+y+3=0的交点坐标为（

k-3

3+k

，

-6k

3+k

），
则所截得线段长为

( 9 3+k )2+( 9k 3+k )  2

=9，化简得1+k²=（3+k）²即6k+9=1，解得k=-

4

3

，
所以直线l的方程为y=-

4

3

（x-1），化简得4x+3y-4=0；
②当直线l的斜率不存在时，直线x=1与两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0的交点分别为（1，3）与（1，-6），此两点间距离是9，故直线x=1被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，
综上，直线l的方程为4x+3y-6=0或x=1
故答案为：4x+3y-6=0或x=1

点评：此题考查学生会根据两直线的方程求交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．