Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

2

2

，
（1）AC⊥BE．
（2）三棱锥A-BEF的体积为定值．
（3）在空间与DD₁，AC，B₁C₁都相交的直线有无数条．
（4）过CC₁的中点与直线AC₁所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．以上结论中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD₁B₁B，即可判断出此命题正确；
（2）由于三角形BEF的面积是定值，A点到面DD₁B₁B距离是定值，即可得出此命题正确；
（3）固定直线B₁D₁的B₁点，让点D₁沿着D₁D的方向向下移动，会与直线AC相交于一点，同理让B₁变动一下位置到P点，也可以得到与直线AC、D₁D相交于一点的直线，因此在空间与DD₁，AC，B₁C₁都相交的直线有无数条．
（4）取CC₁的中点P，B₁D₁的中点O₁，BD的中点O₂，O₁O₂的中点O．连接OP、PO₂．则OP⊥平面DBB₁D₁，PO₂∥AC₁．在平面DBB₁D₁内，以点O为圆心，

2 2

tan50°

=

2

2tan50°

为半径画圆，则点P与此圆上的点的连线满足：
过CC₁的中点P与平面BEF所成角为50°的直线的条数．

解答： 解：（1）AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
（2）三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD₁B₁B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；
（3）固定直线B₁D₁的B₁点，让点D₁沿着D₁D的方向向下移动，会与直线AC相交于一点，同理让B₁变动一下位置到P点，让点D₁沿着D₁D的方向向下移动，也可以得到与直线AC相交于一点的直线，因此在空间与DD₁，AC，B₁C₁都相交的直线有无数条．
（4）取CC₁的中点P，B₁D₁的中点O₁，BD的中点O₂，O₁O₂的中点O．
连接OP、PO₂．则OP⊥平面DBB₁D₁，PO₂∥AC₁．在平面DBB₁D₁内，以点O为
圆心，

2 2

tan50°

=

2

2tan50°

为半径画圆，则点P与此圆上的点的连线满足：过CC₁的中点P与平面BEF所成角为50°的直线．则满足与PO₂成40°的直线PQ有且只有
2条，因此正确．
综上可知：（1）（2）（3）（4）都正确．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质、三棱锥的体积计算公式、空间直线位置关系、异面直线的判定、空间角，考查了空间作图能力与空间想象能力，考查了推理能力，属于难题．