Question

如图，椭圆E：

x2

5

+y2=1，经过椭圆的左焦点F，斜率的k₁的（k₁≠0）的直线l与椭圆交于A，B两点．
（I）当k₁=1时，求|AB|；
（II）给点R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆E交于C，D两点，设直线CD的斜率为k₂，证明：

k1

k2

为定值，并求出定值．

Answer 1

分析：（I）直线l的方程为y=x+2代入椭圆方程，利用弦长公式，即可得到结论；
（II）设出AR，BR的方程，求出C，D的坐标，求出斜率，即可得到结论．

解答：（I）解：直线l的方程为y=x+2代入椭圆方程

x2

5

+y2=1，得6x²+20x+15=0
∴|AB|=

(1+1)[(- 20 6 )2-4× 15 6 ]

=

2 5

3

（II）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则l_AR：y=

y1

x1-1

(x-1)；l_BR：y=

y2

x2-1

(x-1)
由

y= y1 x1-1 (x-1) x2 5 +y2=1

得x2+

5y12

(x1-1)2

×(x-1)2=5
∴（6-2x₁）x²-10y12x+（10x1-6x12）=0
x₁=0时，x_C=

5

3

；x₁≠0时，x₁x_C=

10x1-6x12

6-2x1

，∴x_C=

3x1-5

x1-3

∴C（

3x1-5

x1-3

，

2y1

x1-3

）
同理D（

3x2-5

x2-3

，

2y2

x2-3

）
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₁（x₂+2），
∴k₂=

2y2 x2-3 - 2y1 x1-3

3x2-5 x2-3 - 3x1-5 x1-3

=

2y2(x1-3)-2y1(x2-3)

(3x2-5)(x1-3)-(3x1-5)(x2-3)

=

10k1(x1-x2)

4(x1-x2)

=

5k1

2

，
∴

k1

k2

=

2

5

．

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．