Question

1．已知{a_n}是公差为2的等差数列，且a₃+1是a₁+1与a₇+1的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过解方程$（{a}_{1}+5）^{2}$=（a₁+1）（a₁+13）可知首项，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=1+2ⁿ⁺¹，进而利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，$（{a}_{3}+1）^{2}$=（a₁+1）（a₇+1），
∴$（{a}_{1}+5）^{2}$=（a₁+1）（a₁+13），
解得：a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由（1）可知b_n=${a}_{{2}^{n}}$=1+2ⁿ⁺¹，
于是S_n=n+$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=n-4+2ⁿ⁺²．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．