Question

某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①点（0，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
②函数y=f（x）图象关于y轴对称；
③函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上也单调递增；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．
其中正确的结论是

①④

．

Answer 1

分析：由函数是奇函数可得①正确，②不正确； 由f（

π

3

）＞f（

2π

3

） 可得函数在[0，π]上不是单调递增函数，故③不正确；由|f（x）|≤2|x|对一切实数x均成立，可得④正确．

解答：解：由于函数f（x）=2x•cosx 满足 f（-x）=-f（x），故函数是奇函数，故它的图象过于原点（0，0）对称，故①正确．
由函数是奇函数，可得②不正确．
由于f（

π

3

）=

π

3

，而 f（

2π

3

）=-

π

6

，∴f（

π

3

）＞f（

2π

3

），故函数在[0，π]上不是单调递增函数，故③不正确．
由于函数f（x）=2x•cosx≤|2x•cosx|≤|2x|•|cosx|≤2|x|，故存在常数2＞0，使|f（x）|≤2|x|对一切实数x均成立，故④正确．
故答案为 ①④．

点评：本题主要考查余弦函数的奇偶性、单调性、对称性以及值域，属于中档题．