Question

在△ABC中，已知.

(1)判断△ABC的形状，并说明理由;

(2)建立适当的直角坐标系，求△ABC的内切圆的方程;

(3)求PA²+PB²+PC²的最大值和最小值，并求出取到最大值和最小值时点P的坐标;

(4)若Q是△ABC的外接圆上的一个动点，则Q点在何处，QA²+QB²+QC²有最大值或最小值?试求出最值.

Answer 1

解析：先利用正弦定理或余弦定理判断△ABC的形状后，建立适当坐标系，关键是抓住△ABC的特征来建系，求出内切圆的方程，其次点P在内切圆上，P点的设法有两种，一是普通设法,P(x,y),|PA|²+|PB|²+|PC|²都用x、y表示，进行化简，最后化成关于x、y的一次式，注意到x、y的取值范围，即可以求出最大值和最小值；二是利用圆的参数方程来设，P(x₀+rcosθ,y₀+rsinθ),PA²+PB²+PC²写成θ的函数式，然后利用三角函数性质求解.第（4）题也是同样的策略.

(1)解法一:

∴△ABC是直角三角形.?

解法二:

∴a²-b²+c²=(-a²+b²+c²).?

∴a²+b²=c².?

∴△ABC是直角三角形.

(2)解:建立直角坐标系，

令C(0,0),A(8,0),B(0,6),

∴圆心(2,2).

∴内切圆(x-2)²+(y-2)²=2²=4.

(3)解法一:设P点(x,y)(0≤x≤4,0≤y≤4).?

PA²+PB²+PC²=(x-8)²+y²+(x-0)²+(y-6)²+x²+y²

=3x²+3y²-16x-12y+100?

=3(4x+4y-4)-16x-12y+100

=-4x+88.?

∵0≤x≤4,?

∴(PA²+PB²+PC²)_max=88,?

∴P(0,2);?

(PA²+PB²+PC²)_max=-4×4+88=72,?

∴P(4,2).?

解法二:∵点P在内切圆上,?

∴设P(2+2cosθ,2+2sinθ).?

∴PA²+PB²+PC²=(2+2cosθ-8)²+(2+2sinθ)²+(2+2cosθ)²+(2+2sinθ-6)²+(2+2cosθ)²+(2+2sinθ)²=80-8cosθ.?

∴当cosθ=1时，(PA²+PB²+PC²)_min=72.?

∴P(4,2).?

当cosθ=-1时，(PA²+PB²+PC²)_max=88,?

∴P(0,2).

(4)解:∵A、B、C均在外接圆上,

∴设圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0.?

∴x²+y²-8x-6y=0,

∴(x-4)²+(y-3)²=25.?

设Q(x,y),

QA²+QB²+QC²=(x-8)²+y²+x²+(y-6)²+x²+y²=3x²+3y²-16x-12y+100=3×(8x+6y)-16x-12y+100=8x+6y+100,?

令x=5cosθ+4,y=5sinθ+3,?

∴QA²+QB²+QC²=40cosθ+30sinθ+150=50cos(θ-φ)+150(tanφ=),

∴(QA²+QB²+QC²)_max=200,Q(8,6),

(QA²+QB²+QC²)_min=100,Q(0,0).