Question

已知函数f（x）=[x²-（a+2）x-2a²+a+2]e^x．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）设a＞0，x=2是f（x）的极值点，函数h（x）=xe^-xf（x）．若过点A（0，m）（m≠0）可作曲线y=h（x）的三条切线，求实数m的取值范围；
（3）设a＞1，函数g（x）=（a²+4）e^x，若存在x₁∈[0，1]、x₂∈[0，1]，使|f（x₁）-f（x₂）|＜12，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，令由f'（x）≥0，对a分类讨论，即可求得函数f（x）的单调增区间；
（2）根据x=2是f（x）的极值点，求得函数的解析式，进而可得函数h（x）的解析式，求得A（0，m）（m≠0）不在曲线上，设切点坐标为（a，h（a）），可得2a³-3a²+m=0，于是问题转化为关于a的方程2a³-3a²+m=0有三个不等实根，构造函数，可求m的取值范围；
（3）确定函数f（x）、g（x）的值域，要满足题意，只需a²+4-（-2a²+a+2）＜12且a＞1，由此可求实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=[x²-（a+2）x-2a²+a+2]e^x
∴f'（x）=（x²-ax-2a²）e^x
由f'（x）≥0得：（x+a）（x-2a）≥0
①当a＞0时，x≤-a或x≥2a，∴f（x）的增区间为（-∞，-a]，[2a，+∞）
②当a=0时，x∈R，∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）
③当a＜0时，x≤2a或x≥-a，∴f（x）的增区间为（-∞，-a]，[-a，+∞）
（2）∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=0即a²+a-2=0，∴a=-2或a=1
∵a＞0，∴a=1，∴f（x）=（x²-3x+1）e^x，∴h（x）=xe^-xf（x）=x³-3x²+x．
∵A（0，m）（m≠0），∴A不在曲线上
设切点坐标为（a，h（a）），则h′（a）=，即2a³-3a²+m=0
于是问题转化为关于a的方程2a³-3a²+m=0有三个不等实根
令φ（a）=2a³-3a²+m，则φ′（a）=6a（a-1）
由φ′（a）≥0得a≤0或a≥1
∴φ（a）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴当φ（0）=m＞0，φ（1）=m-1＜0，即0＜m＜1时，方程2a³-3a²+m=0有三个不等实根
∴m的取值范围为（0，1）；
（3）当a＞1时，由（1）可知，函数在[0，1]上单调递减，∴x₁∈[0，1]时，函数f（x）的值域为[（1-2a²）e，-2a²+a+2]
∵函数g（x）=（a²+4）e^x，在[0，1]上单调递增，∴x₂∈[0，1]时，函数g（x）的值域为[a²+4，（a²+4）e]
∵a²+4＞-2a²+a+2
∴要满足题意，只需a²+4-（-2a²+a+2）＜12且a＞1
∴1＜a＜2
∴实数a的取值范围为（1，2）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的单调性与最值时关键．