【答案】
分析:(1)求导函数,令由f'(x)≥0,对a分类讨论,即可求得函数f(x)的单调增区间;
(2)根据x=2是f(x)的极值点,求得函数的解析式,进而可得函数h(x)的解析式,求得A(0,m)(m≠0)不在曲线上,设切点坐标为(a,h(a)),可得2a
3-3a
2+m=0,于是问题转化为关于a的方程2a
3-3a
2+m=0有三个不等实根,构造函数,可求m的取值范围;
(3)确定函数f(x)、g(x)的值域,要满足题意,只需a
2+4-(-2a
2+a+2)<12且a>1,由此可求实数a的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)=[x
2-(a+2)x-2a
2+a+2]e
x
∴f'(x)=(x
2-ax-2a
2)e
x
由f'(x)≥0得:(x+a)(x-2a)≥0
①当a>0时,x≤-a或x≥2a,∴f(x)的增区间为(-∞,-a],[2a,+∞)
②当a=0时,x∈R,∴f(x)的增区间为(-∞,+∞)
③当a<0时,x≤2a或x≥-a,∴f(x)的增区间为(-∞,-a],[-a,+∞)
(2)∵x=2是f(x)的极值点,∴f′(2)=0即a
2+a-2=0,∴a=-2或a=1
∵a>0,∴a=1,∴f(x)=(x
2-3x+1)e
x,∴h(x)=xe
-xf(x)=x
3-3x
2+x.
∵A(0,m)(m≠0),∴A不在曲线上
设切点坐标为(a,h(a)),则h′(a)=
,即2a
3-3a
2+m=0
于是问题转化为关于a的方程2a
3-3a
2+m=0有三个不等实根
令φ(a)=2a
3-3a
2+m,则φ′(a)=6a(a-1)
由φ′(a)≥0得a≤0或a≥1
∴φ(a)在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴当φ(0)=m>0,φ(1)=m-1<0,即0<m<1时,方程2a
3-3a
2+m=0有三个不等实根
∴m的取值范围为(0,1);
(3)当a>1时,由(1)可知,函数在[0,1]上单调递减,∴x
1∈[0,1]时,函数f(x)的值域为[(1-2a
2)e,-2a
2+a+2]
∵函数g(x)=(a
2+4)e
x,在[0,1]上单调递增,∴x
2∈[0,1]时,函数g(x)的值域为[a
2+4,(a
2+4)e]
∵a
2+4>-2a
2+a+2
∴要满足题意,只需a
2+4-(-2a
2+a+2)<12且a>1
∴1<a<2
∴实数a的取值范围为(1,2).
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查曲线的切线,考查恒成立问题,正确求导,确定函数的单调性与最值时关键.