Question

3．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（m-2，m+1），$\overrightarrow{b}$=（m-1，m-2）且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{5}{4}$，2）
• B． （0，1）
• C． （0，$\frac{5}{4}$）∪（$\frac{5}{4}$，2）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 根据题意，由于$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能反向，由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0可得（m-2）（m-1）+（m+1）（m-2）＜0，解可得m的取值范围，进而求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线时m的值，分析可得此时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$方向相反，不符合题意；综合可得答案．

解答 解：若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能反向，
而$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（m-2）（m-1）+（m+1）（m-2）＜0，
变形可得2m（m-2）＜0，
解可得0＜m＜2；
若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，则有（m-2）（m-2）=（m+1）（m-1），
解可得m=$\frac{5}{4}$，
此时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$方向相反，不符合题意，故m≠$\frac{5}{4}$；
综合可得m的取值范围是（0，$\frac{5}{4}$）∪（$\frac{5}{4}$，2）；
故选：C．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，注意要排除两个向量反向的情况．