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给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

x2-

x+1，f₃（x）=2^x-1，f₄（x）=cosx．；
（2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．

（1）∵f₁（

）=0∉（0，1），
∴f（x）在D₁上不封闭；
∵f₂（x）=-（x+

）²+

在（0，1）上是减函数，
∴0＜f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，
∴f₂（x）∈（0，1）?f₂（x）在D₁上封闭；
∵f₃（x）=2^x-1在（0，1）上是增函数，∴0=f₃（0）＜f₃（x）＜f₃（1）=1，
∴f₃（x）∈（0，1）?f₃（x）在D₁上封闭；
∵f₄（x）=cosx在（0，1）上是减函数，∴cos1=f₄（1）＜f₄（x）＜f₄（0）=1，
∴f₄（x）∈（cos1，1）?（0，1）?f₄（x）在D₁上封闭；
（2）f（x）=5-

a+10

x+2

，假设f（x）在D₂上封闭，对a+10讨论如下：
若a+10＞0，则f（x）在（1，2）上为增函数，故应有

f(1)≥1

f(2)≤2

a≤2

a≥2

?a=2
若a+10=0，则f（x）=5，此与f（x）∈（1，2）不合，
若a+10＜0，则f（x）在（1，2）上为减函数，故应有

f(1)≤2

f(2)≥1

a≥-1

a≤-6

，无解，
综上可得，a=2时f（x）在D₂上封闭．

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科目：高中数学 来源： 题型：

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D₁上封闭，并说明理由；
（2）若定义域D₂=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封闭？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）利用（2）中函数，构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造数列的过程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{x_n}，求实数a的取值范围．
②如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数a的取值范围．

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