Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（-3，2）离心率为

3

3

，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x-8）²+（y-6）²=4，过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求

OA

•

OB

的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）把点（3，2）代入椭圆方程，进而根据离心率和a，b，c的关系求得a和b，则椭圆方程可得．
（2）当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，进而可求得圆心（0，0）到直线PA的距离求得k，则直线方程可得．
（3）设∠AOP=α，则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，根据二倍角公式求得cos∠AOB，进而根据

OA

•

OB

=

OA

•

OB

cos∠AOB求得

OA

•

OB

的最大值与最小值．

解答：解：（1）由题意得：

9 a2 + 4 b2 =1 c a = 3 3 a2=b2+c2

解得a=

15

，b=

10

所以椭圆的方程为

x2

15

+

y2

10

=1
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．
因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，所圆心（0，0）到直线PA的距离为

10

即

|8k-6|

1+k2

=

10

，
可得k=

1

3

或k=

13

9

所以直线PA的方程为：x-3y+10=0或13x-9y-50=0
（3）设∠AOP=α，
则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，
则cos∠AOB=2cos²α-1=

20

|0P|2

-1，
∴

OA

•

OB

=

OA

•

OB

cos∠AOB=

200

|0P|2

-10
∴（

OA

•

OB

）_max=-

55

8

，（

OA

•

OB

）_min=-

155

18

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和向量的基本计算．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．