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11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2b-c)cos A-acos C=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,试求当△ABC的面积取最大值时,△ABC的形状.

分析 (1)根据余弦定理化简已知的式子,化简后求出cosA的值,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A;
(2)由(1)和不等式求出bc的范围,由三角形的面积公式,求出△ABC的面积取最大值时边的值,即可判断出△ABC的形状.

解答 解:(1)∵(2b-c)cosA-acosC=0,
由余弦定理得(2b-c)•b2+c2a22bc-a•a2+b2c22ab=0,
整理得b2+c2-a2=bc,…(2分)
∴cosA=b2+c2a22bc=12
∵0<A<π,
∴A=π3;…(5分)
(2)由(1)得b2+c2-bc=3,
由b2+c2≥2bc得,bc≤3.…(7分)
当且仅当b=c=3时取等号,
∴S△ABC=12bcsin A≤12×3×32=334
从而当△ABC的面积最大时,a=b=c=3
∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形.…(10分)

点评 本题考查余弦定理,三角形的面积公式,以及基本不等式在求值中的应用,考查化简、变形能力.

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