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【题目】已知函数

(1)若,函数的极大值为,求实数的值;

(2)若对任意的上恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】试题分析:(1)第(1)问,先求导,对a分类讨论,求出每一种情况下的极大值,得到a的方程,即可求出实数a的值. (2)第(2)问,令,转化成证明g(a)的最大值小于等于上恒成立,再分离参数恒成立,再利用导数求右边函数的最大值得解.

试题解析:

(1)∵

①当时,

,得,得

所以上单调递增, 上单调递减.

所以的极大值为,不合题意.

②当时,

,得,得

所以上单调递增, 上单调递减.

所以的极大值为,解得.符合题意.

综上可得

(2)令

时, 上是增函数

恒成立等价于

恒成立.

恒成立

上单调递减。

所以实数的取值范围为.

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