Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，E为AB中点，F为AD中点．P在棱CC₁上，C₁P=1．
（1）求证：AC₁∥平面PEF；
（2）求四棱锥P-EFBD的体积．

Answer 1

分析：（1）连AC交EF于G，连PG，根据比例关系可知PG∥AC₁，而PG?平面PEF，AC₁?平面PEF，根据线面平行的判定定理可知AC₁∥平面PEF；
（2）先求出S_梯形EFDB=S_△ABD-S_△AEF，然后求出四棱锥P-EFDB的高PC，最后根据体积公式求出所求即可．

解答：解：（1）连AC交EF于G，连PG（2分）
∵

AG

AC

=

C1P

CC1

=

1

4

∴PG∥AC₁（5分）
又∵

PG?平面PEF AC1?平面PEF

，∴AC₁∥平面PEF（7分）
（2）∵S_梯形EFDB=S_△ABD-S_△AEF=6（10分）
PC是四棱锥P-EFDB的高∴h=PC=3（12分）
VP-EFDB=

1

3

.6.3=6（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．