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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目B的考试．每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的概率均为
    2
    3
    ，每次考科目B成绩合格的概率均为
    1
    2
    ．假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X．
    （1）求X的分布列和均值；
    （2）求该同学在这项考试中获得合格证书的概率．
    分析：（1）由题意知X的可能取值是2，3，4，结合变量对应的事件，每次的考试成绩互不影响，知道这是一个相互独立事件同时发生的概率，再根据互斥事件的概率，得到变量对应的概率，写出分布列和期望．
    （2）该同学在这项考试中获得合格证书，包括四种情况，这四种情况是互斥的，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
    解答：解：（1）设该同学“第一次考科目A成绩合格”为事件A1，
    “科目A补考后成绩合格”为事件A2，“第一次考科目B成绩合格”为事件B1，
    “科目B补考后成绩合格”为事件B2
    由题意知，X可能取得的值为：2，3，4
    P(X=2)=P(A1B1)+P(
    .
    A1
    .
    A2
    )
    =
    2
    3
    ×
    1
    2
    +
    1
    3
    ×
    1
    3
    =
    4
    9
    .
    P(X=3)=P(A1
    .
    B1
    B2)+P(A1
    .
    B1
    .
    B2
    )+P(
    .
    A1
    A2B1)
    =
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    1
    3
    ×
    2
    3
    ×
    1
    2
    =
    4
    9
    .
    P(X=4)=P(
    .
    A1
    A2
    .
    B1
    B2)+P(
    .
    A1
    A2
    .
    B1
    .
    B2
    )

    =
    1
    3
    ×
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    1
    3
    ×
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    =
    1
    9

    ∴X的分布列为：
    X 2 3 4
    P
    4
    9
    4
    9
    1
    9
    ∴EX=2×
    4
    9
    +3×
    4
    9
    +4×
    1
    9
    =
    8
    3

    （2）设“该同学在这项考试中获得合格证书”为事件C
    则P(C)=P(A1B1)+P(A1
    .
    B1
    B2)+P(
    .
    A1
    A2B1)+P(
    .
    A1
    A2
    .
    B1
    B2)    =
    2
    3
    ×
    1
    2
    +
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    1
    3
    ×
    2
    3
    ×
    1
    2
    +
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×
    1
    2
    =
    2
    3

    故该同学在这项考试中获得合格证书的概率为
    2
    3
    ．
    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查对立事件，本题是一个综合题目，运算过程中数字比较多，注意不要漏乘．
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    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
    2
    3
    ，科目B每次考试成绩合格的概率均为
    1
    2
    ．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
    （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
    （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
    2
    3
    ，科目B每次考试成绩合格的概率均为
    1
    2
    ．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
    （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
    （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求p（ξ=3）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A的正考和补考成绩合格的概率分别为
    2
    3
    、
    3
    4
    ，科目B的正考和补考成绩合格的概率均为
    1
    2
    ，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
    （1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
    （2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分12分）

    某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响。

    （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

    （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E。

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