Question

【题目】设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列Am：a1 ， a2 ， …，am ， 其中ai（1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列Am满足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使ai+aj≤n，总存在k（1≤k≤m）有ai+aj=ak ， 则称数列Am是“好数列”． （Ⅰ）当m=6，n=100时，
（ⅰ）若数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？
（ⅱ）若数列A6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少种不同的取值？
（Ⅱ）若数列Am是“好数列”，且m是偶数，证明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ）∵m=6，n=100，数列A6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”， ∴x=89，y=100，或x=100，y=89，
数列：11，78，90，x，97，y也是一个“好数列”．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89，100两项，
若剩下两项从90，91，…，99中任取，则都符合条件，有 种；
若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，
则另一项必对应90，91，…，99中的一个，有10种；
若取68≤a≤77，则79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好数列”必超过6项，不符合；
若取a=67，则11+a=78∈A6 ， 另一项可从90，91，…，99中任取一个，有10种；
若取56＜a＜67，则67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好数列”必超过6项，不符合；
若取a=56，则b=67，符合条件，
若取a＜56，则易知“好数列”必超过6项，不符合；
综上，a，b，c，d共有66种不同的取值．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．
又“好数列”a1 ， a2 ， …，am各项互不相同，所以，不妨设a1＜a2＜…＜am ．
把数列配对： ，
只要证明每一对和数都不小于n+1即可．
用反证法，假设存在 ，使aj+am+1﹣j≤n，
因为数列单调递增，所以am﹣j+1＜a1+am﹣j+1＜a2+am﹣j+1＜…＜aj+am﹣j+1≤n，
又因为“好数列”，故存在1≤k≤m，使得ai+am+1﹣j=ak（1≤i≤j），
显然ak＞am+1﹣j ， 故k＞m+1﹣j，所以ak只有j﹣1个不同取值，而ai+am+1﹣j有j个不同取值，矛盾．
所以， 每一对和数都不小于n+1，
故 ，即
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）由“好数列”定义能求出x，y的值，并判断数列：11，78，90，x，97，y是一个“好数列”．（ⅱ）由数列必含89，100两项，若剩下两项从90，91，…，99中任取，有 种；若剩下两项从79，80，…，88中任取一个，有10种．由此分类讨论，能求出a，b，c，d共有多少种不同的取值．（Ⅱ）一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．设a1＜a2＜…＜am ． 把数列配对： ，只要证明每一对和数都不小于n+1即可．例用反证法，能证明 ．