Question

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足

PF1

•

PF2

=0，则

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、2
• D、不确定

Answer 1

分析：设椭圆和双曲线的方程为：

x2

m

+

y2

n

=1(m＞n＞0)和

x2

a

-

y2

b

=1(a＞0，b＞0)．由题设条件可知 |PF1|+|PF2|=2

m

，|PF1|-|PF2|=2

a

，结合

PF1

•

PF2

=0，由此可以求出

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

的值．

解答：解：设椭圆和双曲线的方程为：

x2

m

+

y2

n

=1(m＞n＞0)和

x2

a

-

y2

b

=1(a＞0，b＞0)．
∵|PF1|+|PF2|=2

m

，|PF1|-|PF2|=2

a

，
∴|PF1| =

m

+

a

，|PF2|=

m

-

a

，
∵满足

PF1

•

PF2

=0，
∴△PF₁F₂是直角三角形，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²．
即m+a=2c²
则

e 2 1 + e 2 2

(e1e2)2

=

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=

m

c 2

+

a

c2

=

m+a

c2

=2
故选C．

点评：本题综合考查双曲线和椭圆的性质，解题时注意不要把二者弄混了．