Question

4．已知x₁，x₂是函数 f（x）=2sinx+cosx-m在[0，π]内的两个零点，则sin（x₁+x₂）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意可得 m=2sinx₁+cosx₁=2sinx₂+cosx₂，即 2sinx₁-2sinx₂=cosx₂-cosx₁，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求．

解答 解：∵x₁，x₂是函数 f（x）=2sinx+cosx-m在[0，π]内的两个零点，
即 x₁，x₂是方程2sinx+cosx=m在[0，π]内的两个解，
∴m=2sinx₁+cosx₁=2sinx₂+cosx₂，∴2sinx₁-2sinx₂=cosx₂-cosx₁，
∴2×2×cos$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$ sin$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{2}$=-2sin$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$sin$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{2}$，∴2cos$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=sin$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，
∴tan$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=2，∴sin（x₁+x₂）=$\frac{2tan（\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}）}{1{+tan}^{2}\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查函数方程的转化思想，函数零点问题的解法，考查三角函数的恒等变换，同角基本关系式的运用，属于中档题．