Question

已知函数f（x）=2x²-2ax+b，f（-1）=-8．对?x∈R，都有f（x）≥f（-1）成立；记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-t|≤1}．
（I）当t=1时，求（C_RA）∪B．
（II）设命题P：A∩B≠空集，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的是集合运算和命题的真假判断与应用的综合类问题．在解答时：
（I）首先根据条件利用二次函数最值得性质求的二次函数的解析式，进而将集合A具体化，又因为t=1所以可以将集合B具体化，从而问题即可获得解答；
（Ⅱ）首先要将条件进行转化，即命题P：A∩B≠空集为假命题，再结合集合A、B的特征利用数轴即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答．

解答：解：由题意（-1，-8）为二次函数的顶点，
∴f（x）=2（x+1）²-8=2（x²+2x-3）．
A={x|x＜-3或x＞1}．
（Ⅰ）B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}．
∴（C_RA）∪B={x|-3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}={x|-3≤x≤2}．
∴（C_RA）∪B={x|-3≤x≤2}．
（Ⅱ）∵B={x|t-1≤x≤t+1}．且由题意知：命题P：A∩B≠空集为假命题，
所以必有：

t-1≥-3 t+1≤1

?

t≥-2 t≤0

，
∴实数t的取值范围是[-2，0]．

点评：本题考查的是集合运算和命题的真假判断与应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了二次函数的知识、集合运算的知识以及命题的知识．同时问题转化的思想也在此题中得到了很好的体现．值得同学们体会和反思．