Question

如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，A₁，B₁分别是AD，BC边上的点，且AA₁=BB₁="1," E，F分别为B₁D与AB的中点. 把长方形ABCD沿直线折成直角二面角，且.

（1）求证：
（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）根据题意，由于AA₁⊥A₁B₁，同时FG//AA₁，故FG⊥A₁B₁ ,那么结合A₁B₁⊥面EFG，可得A₁B₁⊥EF
得到结论。
（2）

试题分析：解：（I）证明：因为AA₁=BB₁="1," 且AA₁//BB₁，所以四边形ABB₁A₁为矩形，故AA₁⊥A₁B₁，
取A₁B₁的中点G，边接EG，FG，因为F为AB的中点，所以AF//A₁G，且AF＝A₁G，可得四边形AFGA₁是平行四边形，所以FG//AA₁，故FG⊥A₁B₁ ,同理可得EG⊥A₁B₁,所以A₁B₁⊥面EFG，可得A₁B₁⊥EF. 因为CD//A₁B₁，所以CD⊥EF.  （6分）
（II）因为∠A₁B₁D=30°，所以，
可得，因为二面角A－A₁B₁－D为直二面角，由（I）可知FG⊥面A₁B₁E, 所以  （12分）
点评：主要是考查了线线垂直以及三棱锥体积的运用，属于基础题。