Question

（2013•湖州二模）定义在（0，

π

2

）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

• A．

  3

  f(

  π

  4

  )＞

  2

  f(

  π

  3

  )
• B．f(1)＜2f(

  π

  6

  )sin1
• C．

  2

  f(

  π

  6

  )＞f(

  π

  4

  )
• D．

  3

  f(

  π

  6

  )＜f(

  π

  3

  )

Answer 1

分析：把给出的等式变形得到f^′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=

f(x)

sinx

，由其导函数的符号得到其在
（0，

π

2

）上为增函数，则g(

π

6

)＜g(

π

3

)，整理后即可得到答案．

解答：解：因为x∈（0，

π

2

），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f^′（x）sinx．
即f^′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=

f(x)

sinx

x∈（0，

π

2

），则g′(x)=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

＞0．
所以函数g（x）=

f(x)

sinx

在x∈（0，

π

2

）上为增函数，
则g(

π

6

)＜g(

π

3

)，即

f( π 6 )

sin π 6

＜

f( π 3 )

sin π 3

，所以

f( π 6 )

1 2

＜

f( π 3 )

3 2

，
即

3

f(

π

6

)＜f(

π

3

)．
故选D．

点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．