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    已知向量
    p
    =（sinx，
    		3
    cosx），
    q
    =（cosx，cosx），定义函数f（x）=
    p
    • 
    q

    （1）求f（x）的最小正周期T；
    （2）若△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且c2+ac-a2=bc，求边a所对角A以及f（A）
    的大小．
    分析：（1）先利用两角和公式对函数解析式化简整理求得f（x）=sin（2x+
    π
    3
    ）+
    		3
    2
    ．进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．
    （2）根据A的范围确定2x+
    π
    3
    的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值，答案可得．
    解答：解：（1）f（x）=
    p
    •
    q
    =（sinx，
    		3
    cosx）•（cosx，cosx）=sinxcosx+
    		3
    cos2x
    =
    1
    2
    sin2x+
    		3
    •
    1+cos2x
    2
    =
    1
    2
    sin2x+
    		3
    2
    cos2x+
    		3
    2

    =sin（2x+
    π
    3
    ）+
    		3
    2
    ．
    ∴f（x）的最小正周期为T=
    2π
    2
    =π．
    （2）∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac，
    又c2+ac-a2=bc．
    ∴cosA=
    b2+c2-a2
    2bc
    =
    ac+c2-a2
    2bc
    =
    bc
    2bc
    =
    1
    2
    ．
    又∵0＜A＜π，∴A=
    π
    3
    ．
    f（A）=sin（2×
    π
    3
    +
    π
    3
    ）+
    		3
    2
    =sinπ+
    		3
    2
    =
    		3
    2
    ．
    点评：此题是个中档题．主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式的化简求值．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    m
    =(1，1)    ，向量
    n
    与向量
    m
    夹角为
    3
    4
    π    ，且
    m
    •
    n
    =-1    ．
    （1）若向量
    n
    与向量
    q
    =（1，0）的夹角为
    π
    2
    ，向量
    p
    =(cosA，2cos2
    C
    2
    )    ，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|
    n
    +
    p
    |的取值范围．
    （2）若A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，设f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值为5-2
    		2
    ，关于x的方程sin(ax+
    π
    3
    )=
    m
    2
    (a＞0)    在[0，
    π
    2
    ]    上有相异实根，求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    m
    =（1，1），
    q
    =（1，0），＜
    n
    ，
    p
    ＞=
    π
    2
     且
    m
    •
    n
    =-1；若△ABC的内角A，B，C依次成等差数列，且A≤B≤C；
    （1）若关于x的方程sin（2x+
    π
    3
     ）=
    m
    2
     在[0，B]上有相异实根，求实数m的取值范围；
    （2）若向量
    p
    =（cosA，2cos2
    C
    2
    ），试求|
    n
    +
    p
    |的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    m
    =(1，cosωx)，
    n
    =(sinωx，
    		3
    )    （ω＞0），函数f(x)=
    m
    •
    n
    ，且f（x）图象上一个最高点为P(
    π
    12
    ，2)    ，与P最近的一个最低点的坐标为(
    7π
    12
    ，-2)    ．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
    π
    2
    ]    上的解的个数；
    （3）在锐角△ABC中，若cos(
    π
    3
    -B)=1    ，求f（A）的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2012届江西省南昌市高三第一次模拟测试卷理科数学试卷 题型：填空题

    已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

    (1)求函数f(x)(x∈R)的值域；

    (2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．

     

     

     

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    科目：高中数学 来源：江西省南昌市2011-2012学年高三下学期第一次模拟测试卷（数学理） 题型：解答题

     

    已知向量p＝(－cos 2x，a)，q＝(a,2－sin 2x)，函数f(x)＝p·q－5(a∈R，a≠0)

    (1)求函数f(x)(x∈R)的值域；

    (2)当a＝2时，若对任意的t∈R，函数y＝f(x)，x∈(t，t＋b]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)的在[0，b]上单调递增区间．

     

     

     

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