Question

10．函数f（x）=x-lnx．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）请画出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间和最值；
（3）求函数f（x）的区间[a，a+1]（a＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．求得定义域，即可判断；
（2）求出导数，求得单调区间和极值、最值，画出图象可得单调区间和最值；
（3）对a讨论，分0＜a≤1时，a＞1时，运用图象和单调性，可得最小值．

解答 解：（1）函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
理由：函数f（x）=x-lnx的定义域为（0，+∞），
不关于原点对称，即有f（x）为非奇非偶函数；
（2）f（x）=x-lnx的导数为f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值1．
f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
最小值为f（1）=1，无最大值；
（3）由a＞0，即有a+1＞1，当a≤1＜a+1，即为0＜a≤1时，
f（x）在x=1处取得最小值，且为1；
当a＞1时，f（x）在[a，a+1]递增，即有x=a处，取得最小值a-lna．
综上可得0＜a≤1时，f（x）的最小值为1；
a＞1时，f（x）的最小值为a-lna．

点评 本题考查函数的单调区间和最值的求法，注意运用单调性和分类讨论的思想方法，考查数形结合的思想方法，属于中档题．