Question

若钝角三角形ABC的三边a，b，c成等比数列，且最大边长与最小边长的比为m，则m的取值范围是（　　）

• A．m＞2
• B．m＞

  1+ 5

  2

• C．m≥

  1+ 5

  2

• D．0＜m≤

  1+ 5

  2

Answer 1

分析：由题意可得b²=ac，设a为最小边，c为最大边，则m=

c

a

＞1．再由cosC=

a2+ac-c2

2ab

＜0，可得 a²+ac-c²＜0，即 1+

c

a

-(

c

a

)2＜0．由此解得m=

c

a

的范围．

解答：解：由钝角三角形ABC的三边a，b，c成等比数列，可得b²=ac，设a为最小边，c为最大边，则m=

c

a

＞1．
再由cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+ac-c2

2ab

＜0，可得 a²+ac-c²＜0，∴1+

c

a

-(

c

a

)2＜0．
解得

c

a

＞

1+ 5

2

，或c＜

1- 5

2

 （舍去），故有m=

c

a

＞

1+ 5

2

，
故选B．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，余弦定理的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．