Question

已知正项数列中，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前项和，是数列的前项和，求证：.

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、放缩放、累加法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，法一，利用转化已知表达式中的，证明数列为等差数列，通过，再求；法二，利用转化，证明数列为等差数列，直接得到的通项公式；第二问，要证，只需要证中每一项都小于中的每一项，利用放缩法，先得到，，只需证，通过放缩法、累加法证明不等式.
（1）法一：由得
当时，，且，故               1分
当时，，故，得，
∵正项数列，
∴                           4分
∴是首项为，公差为的等差数列.
∴  ，
∴  .                       6分
法二：
当时，，且，故              1分
由得，                 2分
当时，
∴ ，
整理得 
∵正项数列，，
∴ ，                           5分
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴  .                           6分
（2）证明：先证：        7分
.
故只需证，              9分
因为[]²

所以                  12分
所以
当取得到不等式，

相加得：

即：                           14分