Question

已知函数（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正周期为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数的最大值求出A，由周期求得ω，从而求得函数的解析式．
（2）解法1：先求出P、Q两点的坐标，利用两个向量的夹角公式求得cos∠POQ，可得sin∠POQ的值，根据△POQ的面积为，运算求得结果．
解法2：先求出P、Q两点的坐标，利用点到直线的距离公式求得点Q到直线OP的距离d以及OP的长度，再根据△POQ的面积为 运算求得结果．
解答：（1）解：∵f（x）的最大值为2，且A＞0，∴A=2．…（1分）
∵f（x）的最小正周期为8，∴，得．…（2分）
∴f（x）=2sin（x+）．…（3分）
（2）解法1：∵，…（4分）
∴，…（5分）
∴．
∴．…（8分）
∴．…（10分）
∴=．…（11分）
∴△POQ的面积为=．…（12分）
解法2：∵，…（4分）
∴，…（5分）
∴．
∴直线OP的方程为，即．…（7分）
∴点Q到直线OP的距离为．…（9分）
∵，…（11分）
∴△POQ的面积为=．…（12分）
点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．