精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
14.函数y=f(x),x∈D,若常数C满足C>0,且函数y=f(x)在x∈D上的值域是y=$\frac{C^2}{f(x)}$,在x∈D上的值域的子集,则称函数f(x)在D上的几何平均数为C.
(1)已知f(x)=lnx,求函数f(x)在[e,e2]上的几何平均数;
(2)若函数f(t)=-2t2-at+1(a<-1)在区间[$\frac{1}{2}$,1]上的几何平均数为$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$,求实数a的值.

分析 (1)根据新定义,值域是y=$\frac{C^2}{f(x)}$在x∈D上的值域的子集,则称函数f(x)在D上的几何平均数为C.
令y=f(x1),则$f({x}_{1})•f({x}_{2})={C}^{2}$,我们易得若函数在区间D上单调递增,则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均,求解即可.
(2)根据对称轴讨论二次函数的最值,C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均,求解即可.

解答 解:根据新定义,关于函数f(x)在D上的几何平均数为C的定义,
结合f(x)=lnx,在区间[e,e2]上单调递增
则x1=e时,存在唯一的x2=e2与之对应
故CC2=lne×lne2=2,
∵C>0,
故得C=$\sqrt{2}$
即函数f(x)在[e,e2]上的几何平均数C=$\sqrt{2}$.
(2)函数f(t)=-2t2-at+1(a<-1),
其对称轴t=$-\frac{a}{4}$,图象开口向下,
当$-\frac{a}{4}≤\frac{1}{2}$或$-\frac{a}{4}≥1$时,即-1>a≥-2或a≤-4,
t在区间$[\frac{1}{2},1]$上单调,
则x1=$\frac{1}{2}$时,存在唯一的x2=1与之对应,
根据已知中关于函数f(x)在D上的几何平均数为C的定义,
几何平均数C=f($\frac{1}{2}$)•f(1)=$-\frac{1}{2}(1-a)(1+a)$
即$-\frac{1}{2}(1-a)(1+a)$=$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$,
此时a不满题意.
当$\frac{1}{2}$≤$-\frac{a}{4}≤1$时,即-1>a≥-4.
此时的最大值为f($-\frac{a}{4}$)=$\frac{{a}^{2}+8}{8}$,最小值为f($\frac{1}{2}$)或f(1).
几何平均数C2=f($\frac{1}{2}$)•f($-\frac{a}{4}$)=$\frac{{a}^{2}+8}{4}$或几何平均数C2=f($-\frac{a}{4}$)•f(1)=$\frac{{a}^{2}+8}{4}$
此时a=$-\sqrt{3}$或a=3,满足题意.
故得函数f(t)=-2t2-at+1(a<-1)在区间[$\frac{1}{2}$,1]上的几何平均数为$\frac{{\sqrt{{a^2}+8}}}{2}$,实数a的值为$-\sqrt{3}$或-3.

点评 本题考查了对新定义的理解和运用,以及二次函数的最值的讨论与新定义法结合的化简与计算.属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

15.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+B的一部分图象如图所示,其中A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$.
(1)求函数y=f(x)解析式;
(2)求x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,函数y=f(x)的值域;
(3)将函数y=f(x)的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递减区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.设集合A={1,2,3},B={2,4},全集U={0,1,2,3,4}则(∁UA)∪B={0,2,4}.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.已知函数f(x)=x3-3x,则函数h(x)=f[f(x)]-c,c∈[-2,2]的零点个数(  )
A.5或6个B.3或9个C.9或10个D.5或9个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

9.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,且经过点(2,0)
(Ⅰ)求椭圆C的方程
(Ⅱ)若与坐标轴不垂直的直线l经过椭圆C的左焦点F(-c,0),且与椭圆C交于不同两点A,B,问是否存在常数λ,(λ为实数),使|AB|=λ|AF||BF|恒成立,若存在,请求出λ的值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.空气污染,又称为大气污染,当空气污染指数(单位:μg/m3)为0~50时,空气质量级别为一级,空气质量
状况属于优;当空气污染指数为50~100时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为
100~150时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为150~200时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染; 2015年1月某日某省x个监测0点数据统计如下:
空气污染指数
(单位:μg/m3
[0,50](50,100](100,150](150,200]
监测点个数1540y15
(Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x,y的值,并完成频率分布直方图;
(Ⅱ)统计部门从该省空气质量“良好”和“轻度污染”的两类监测点中采用分层抽样的方式抽取了7个监测点,省环保部门再从中随机选取3个监测点进行调研,记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”,求ξ的分布列.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量$\overrightarrow{a}$1=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$,特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量$\overrightarrow{a}$2=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$,
(1)求矩阵A;  
(2)求矩阵A的逆矩阵A-1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,求x的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.设An和Bn是等差数列{an}和{bn}的前n项和,若$\frac{a_5}{b_7}=1$,则$\frac{A_9}{{{B_{13}}}}$=(  )
A.$\frac{9}{13}$B.$\frac{5}{7}$C.$\frac{17}{25}$D.1

查看答案和解析>>

同步练习册答案