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     已知直三棱柱中，AB⊥AC，，D，E，F分别为，BC的中点。

        （1）求证：DE∥平面ABC；

        （2）求证：⊥平面AEF；

        （3）求二面角的大小。

    【答案】

     解：（1）取的中点G，则DG∥AB，EG∥AC，所以平面GDE∥平面ABC，所以DE∥平面ABC。

        （2）连结AF，则AF⊥平面。

        ，所以⊥平面AEF。

        （3）以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则为平面AEF的法向量。

        又，设平面的法向量为，则

        。

        解得，取，则，从而

        ，即二面角是。

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    已知直三棱柱中，，，为的中点．

    (Ⅰ)求异面直线CC1和AB的距离；

    (Ⅱ)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．

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    （12分）已知直三棱柱中，，点M是的中点，Q是AB的中点，

    （1）若P是上的一动点，求证：；

    （2）求二面角大小的余弦值．

     

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     已知直三棱柱中，AB⊥AC，AB＝AC＝，D，E，F分别为的中点。

        （1）求证：DE∥平面ABC；

        （2）求证：⊥平面AEF。

     

     

     

     

     

     

     

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    科目：高中数学 来源：2013届山西省晋商四校高二下学期联考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若.

    （1）求的长；  （2）求点到平面的距离；

    （3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

    【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3

    第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为

    解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 ……………  5分

    (2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分

    (3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB

    CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

    sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分

    解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

    =(2, －, －), =(0, －3, －h)  ……… 4分

    ·=0,  h=3

    (2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

    点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分

    (3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

    二面角C－AB－C的大小满足cos== ………  11分

    二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

     

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