Question

确定函数y=x-

1

x

在区间（-∞，0）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：设x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

，结合已知可判断f（x₁）＞f（x₂），从而可证．

解答： 解：函数f（x）在（-∞，0）上递增；
证明：设x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-x₂+

1

x2

=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）
=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

，
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调递增．

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明函数的单调性中的应用