Question

已知函数f（x）=

f′(1)

e

•ex-f(0)•x+

1

2

x2（e是自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的解析式和单调区间
（2）若函数g（x）=

1

2

x2+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入解析式求出f（0），再求出函数的导数f′（x），把x=1代入f′（x）求出f′（1），再求出f（0），代入解析式即求出f（x）的解析式，再由导数的单调性，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0解集，即求出函数的单调区间；

（2）将条件转化为：e^x-x-a=0在[-1，2]上恰有两个不同的根，构造函数h（x）=e^x-x-a，再求出导数并判断出在[-1，2]上的单调性，再列出不等式组求解即可．

解答：解：（1）由题意得，f（0）=

f′(1)

e

•e0=

f′(1)

e

，
且f′（x）=

f′(1)

e

•ex-f(0)+x=

f′(1)

e

•ex-

f′(1)

e

+x，
∴f′（1）=

f′(1)

e

•e -

f′(1)

e

+1，解得f′（1）=e，且f（0）=1，
故f（x）=ex-x+

1

2

x2，
∴f′（x）=e^x-1+x，
又∵f′（x）=e^x-1+x在R上递增，且f′（0）=0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-∞，0），
（2）由题意得，g（x）与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有两个不同的交点，
则

1

2

x2+a=ex-x+

1

2

x2在[-1，2]上恰有两个不同的根，
即e^x-x-a=0在[-1，2]上恰有两个不同的根，
设h（x）=e^x-x-a，则h′（x）=e^x-1，
令h′（x）=e^x-1=0得，x=0，
∴当x＜0时，h′（x）＜0；当x＞0时，h′（x）＞0，
∴h（x）在[-1，0]上递减，在（0，2]上递增，
∵e^x-x-a=0在[-1，2]上恰有两个不同的根，
∴

h(0)＜0 h(-1)＞0 h(2)＞0

，即

1-a＜0 e-1+1-a＞0 e2-2-a＞0

，
解得1＜a＜1+

1

e

，
故实数a的取值范围是（1，1+

1

e

）．

点评：本题考查导数性质的应用，涉及到函数的单调性，方程根与函数的图象的交点问题等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，考查了转化思想和构造函数法．