Question

1．近几年，由于环境的污染，雾霾越来越严重，某环保公司销售一种PM2.5颗粒物防护口罩深受市民欢迎．已知这种口罩的进价为40元，经销过程中测出年销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售这种口罩的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．
（I）求y关于x的函数关系；
（II）写出该公司销售这种口罩年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式
（年获利=年销售总金额-年销售口罩的总进价-年总开支金额）；当销售单价x为何值时，年获利最大？最大获利是多少？
（III）若公司希望该口罩一年的销售获利不低于57.5万元，则该公司这种口罩的销售单价应定在什么范围？在此条件下要使口罩的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

Answer 1

分析 （I）由图象可知y关于x的函数关系式是一次函数，设y=kx+b，用“两点法”可求解析式；
（II）根据年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额，列出函数关系式；
（III）令W≥57.5，从而确定销售单价x的范围，及二次函数w最大时，x的值．

解答 解：（I）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3），$\left\{\begin{array}{l}{5=70k+b}\\{3=90k+b}\end{array}\right.$，得k=-$\frac{1}{10}$，b=12，
∴$y=-\frac{1}{10}x+12$…（4分）
（II） 由题意，得
w=y（x-40）-z
=y（x-40）-（10y+42.5）
=（-$\frac{1}{10}$x+12）（x-40）-10（-$\frac{1}{10}$x+12）-42.5
=-0.1x²+17x-642.5=-$\frac{1}{10}$（x-85）²+80．
当销售单价为85元时，年获利最大，最大值为80万元…（8分）
（III）令W≥57.5，-0.1x²+17x-642.5≥57.5，…（9分）
整理得x²-170x+7000≤0，解得70≤x≤100．…（10分）
故要使该口罩一年的销售获利不低于57.5万元，单价应在70元到100元之间．…（11分）
又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大且获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．      …（12分）

点评 本题考查点的坐标的求法及一次函数、二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．