Question

19．已知等差数列{a_n}的首项a_l=1，公差d＞0，且{a_n}的第二项、第五项、第十四项成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{n（{a_n}+5）}}（n∈{N^*}）$，记S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n并说明是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有${S_n}＞\frac{t}{36}$总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}的第二项、第五项、第十四项成等比数列，可得$（{a}_{1}+4d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+13d），化简整理即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{n（{a_n}+5）}}（n∈{N^*}）$，b_n=$\frac{1}{n（2n+4）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”、“放缩法”、不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}的第二项、第五项、第十四项成等比数列，
∴$（{a}_{1}+4d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+13d），整理得2a₁d=d²，
∴2d=d²，∵d＞0，∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）${b_n}=\frac{1}{{n（{a_n}+5）}}（n∈{N^*}）$，
∴b_n=$\frac{1}{n（2n+4）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴S_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$≥$\frac{1}{4}（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{6}$．
假设存在最大的整数t，使得对任意的n均有${S_n}＞\frac{t}{36}$总成立，
则$\frac{t}{36}＜\frac{1}{6}$，解得t＜6．
∴适合不等式的最大整数为5．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．