Question

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A的正考和补考成绩合格的概率分别为

2

3

、

3

4

，科目B的正考和补考成绩合格的概率均为

1

2

，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）不需要补考就获得证书的事件表示科目A第一次考试合格且科目B第一次考试合格，这两次考试合格是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果；
（2）参加考试的次数为ξ，由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率写出概率，即可求出ξ的分布列和数学期望．

解答：解：（1）记“他不需要补考就可获得证书”为事件A，则P（A）=

2

3

×

1

2

=

1

3

；
（2）ξ的可能取值为：2，3，4，则
P（ξ=2）=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

4

=

5

12

；P（ξ=3）=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

3

4

×

1

2

=

11

24

；
P（ξ=4）=

1

3

×

3

4

×(

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

)=

1

8

∴ξ的分布列为

P	2	3	4
ξ	5 12	11 24	1 8

Eξ=2×

5

12

+3×

11

24

+4×

1

8

=

65

24

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．