Question

选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，关于x的不等式即|x-2|+|x-1|≥2．而由绝对值的意义可得，

5

2

和

1

2

到1和2对应点的距离之和正好等于2，由此可得不等式的解集．
（2）由于|ax-2|+|ax-a|≥|a+2|，不等式的解集为R，等价于|a+2|≥2，由此求得a的范围．再根据a＞0，进一步确定a的范围．

解答：解：（1）当a=1时，关于x的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2（a＞0），即|x-2|+|x-1|≥2．
而由绝对值的意义可得|x-2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
且

5

2

和

1

2

到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故不等式的解集为{x|x≥

5

2

，或 x≤

1

2

}．
（2）由于不等式|ax-2|+|ax-a|≥|（ax+2）-（ax-a）|=|a+2|，
不等式|ax-2|+|ax-a|≥2（a＞0）的解集为R，等价于|a+2|≥2，
即 a+2≥2，或 a+2≤-2，解得 a≥0，或 a≤-4．
再根据a＞0，可得 a＞0，即a的范围为（0，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．