精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知点G(5,4),圆C1:(x-1)2+(x-4)2=25,过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点,线段EF的中点为C.
(1)求点C的轨迹C2的方程;
(2)若过点A(1,0)的直线l1与C2相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M;又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证|AM|•|AN|为定值.
考点:轨迹方程,两条直线的交点坐标
专题:综合题,直线与圆
分析:(1)利用
C1C
CG
=0,即可求点C的轨迹C2的方程;
(2)分别联立相应方程,求得M,N的坐标,再求
AM
AN
解答: (1)解:圆C1:(x-1)2+(x-4)2=25,圆心C1(1,4),半径为5,
设C(x,y),则
C1C
=(x-1,y-4),
CG
=(5-x,4-y),
C1C
CG
=0,
∴(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即:(x-3)2+(y-4)2=4,
∴点C的轨迹C2的方程为:(x-3)2+(y-4)2=4;
(2)证明:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0
与x+2y+2=0联立可得N(
2k-2
2k+1
,-
3k
2k+1
),
又直线CM与l1垂直,
y=kx-k
y-4=-
1
k
(x-3)
得M(
k2+4k+3
1+k2
4k2+2k
1+k2
).
∴|AM|•|AN|=
AM
AN
=
2|2k+1|
1+k2
1+k2
3
1+k2
|2k+1|
=6为定值.
点评:本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线与直线的交点,考查向量知识的运用,属于中档题..
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,m∈R,当直线l被圆C截得的弦长最短时的m的值是(  )
A、-
3
4
B、-
1
3
C、-
4
3
D、
3
4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若ab>0,则下列四个等式:
①lg(ab)=lga+lgb
②lg(
a
b
)=lga-lgb
1
2
lg(
a
b
2=lg(
a
b

④lg(ab)=
1
logab10
中正确等式的符号是(  )
A、①②③④B、①②C、③④D、③

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}为等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,a1+a6+a11=4π,则sin(S11)的值为(  )
A、
3
2
B、±
3
2
C、
1
2
D、-
3
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=kx2-kx+2
(Ⅰ)若x∈R时,f(x)>0恒成立,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)若k∈R,解关于x的不等式f(x)≤2x.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列四个命题,其中正确的命题有
 
.(填所有正确的序号)
(1)命题“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
(2)若f(x)=ax2+2x+1只有一个零点,则a=1;
(3)命题“若x≥2且y≥3,则x+y≥5”的否命题为“若x<2且y<3,则x+y<5”;
(4)对于任意实数x,有f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则当x<0时,f′(x)>g′(x);
(5)在△ABC中,“A>45°”是“sinA>
2
2
”的充要条件.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)+2f(3-x)=x2,求f(x)的表达式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若在定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数有“飘移点”x0
(1)函数f(x)=
1
x
是否有“飘移点”?请说明理由;
(2)证明函数f(x)=x2+2x在(0,1)上有“飘移点”;
(3)若函数f(x)=lg(
a
x2+1
)在(0,+∞)上有“飘移点”,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=3x+sinx,若f(a)=3,则f(-a)的值(  )
A、aB、-aC、3D、-3

查看答案和解析>>

同步练习册答案