Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1，－3)，N(5，1)，若点C满足，点C的轨迹与抛物线y²＝4x交于A、B两点；

(1)求点C的轨迹方程；

(2)求证：；

(3)在x轴正半轴上是否存在一定点P(m，0)，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设，由知，点C的轨迹为y＝x－4． 　　(2)由消y得： 　　设，，则，， 　　所以，所以，于是 　　(3)假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为，由消x得：，设，， 　　则，． 　　因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以即，所以得，所以存在．