Question

5．已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求直线l方程及△POM的面积．

Answer 1

分析 （1）圆C的方程可化为（x-4）²+y²=16，由此能求出圆心为C（4，0），半径为4，设M（x，y），求出向量CM，MP的坐标，由$\overrightarrow{CM}$$•\overrightarrow{MP}$=0，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M的轨迹方程；
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由点斜式方程可得直线l的方程．利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM的面积

解答 解：（1）圆C的方程可化为（x-4）²+y²=16，
所以圆心为C（4，0），半径为4，
设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y），
由题设知$\overrightarrow{CM}$$•\overrightarrow{MP}$=0，
故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，
即（x-3）²+（y-1）²=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-3）²+（y-1）²=2．
（2）由（1）可知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为$\frac{1}{3}$，
所以l的斜率为-3，
故l的方程为y-2=-3（x-2），即为3x+y-8=0．
又|OP|=|OM|=2$\sqrt{2}$，O到l的距离为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，|PM|=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
所以△POM的面积为$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．