Question

投掷四枚不同的金属硬币A、B、C、D，假定A、B两枚正面向上的概率均为，另两枚C、D为非均匀硬币，正面向上的概率均为a（0＜a＜1），把这四枚硬币各投掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．
（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及数学期望（用a表示）；
（3）若出现2枚硬币正面向上的概率最大，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）A、B出现一正一反的概率为，C、D出现两正的概率为a²，由于两个概率相等，即可列出关于a的方程
（2）ξ的可能的值为0，1，2，3，4其中0和4时直接计算即可，ξ的值为1时要分是A，B还是C，D正面向上；ξ的值为2时要分都是A，B中的，都是C，D中的，A，B和C，D中个一个；ξ的值为3时要分ABC，ABD，CDA，CDB然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，和独立事件的概率定义即可求出ξ的分布列，数学期望由求出ξ的分布列即可求解
（3）利用出现2枚硬币正面向上的概率最大建立关于a的不等关系，即可求a的取值范围．
解答：解：（1）由题意得：
∴a=
（2）ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=，
得ξ得分布列为：

∴Eξ=1×+2×+3×+4×=2a+1
（3）∵0＜a＜1，显然，即P（ξ=0）＜P（ξ=1）
∵
由P（ξ=2）-P（ξ=1）=-（1-a）=
且P（ξ=2）-P（ξ=3）==
得解得
即a三问取值范围是：[]
点评：本小题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率、离散型随机变量的期望与方差、概率的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．