Question

6．已知y=f（x）是定义在R上的单调函数，任意实数x₁，x₂满足x₁＜x₂，λ≠-1，α=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$，β=$\frac{λ{x}_{1}+{x}_{2}}{1+λ}$，若|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|恒成立，则有（　　）

• A． 0＜λ＜1
• B． λ=0
• C． λ＜0且λ≠-1
• D． λ≥1

Answer 1

分析 对抽象函数的理解，可以用简单的一次函数模拟，帮助分析，由单调函数可得|α-β|＞|x₁-x₂|，代入可得|1-λ|＞|1+λ|，两边平方，解出即可．

解答 解：∵y=f（x）是定义在R上的单调函数而|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，
易得：α+β=x₁+x₂，
若为递减函数如图：

递增函数同理可得，
∴|α-β|＞|x₁-x₂|
将α=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$，β=$\frac{λ{x}_{1}+{x}_{2}}{1+λ}$，代入得
|1-λ||x₁-x₂|＞|x₁-x₂|而x₁≠x₂，
∴|1-λ|＞|1+λ|，
∴4λ＜0，解得λ＜0，又λ≠-1，
故选：C．

点评 考查了抽象函数的理解，难点是如何得出|α-β|＞|x₁-x₂|．