Question

【题目】定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】由f（x）=f（2﹣x），得函数关于x=1对称，

由f'（x）（x﹣1）＞0得，

当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，

当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，

若x1＜x2，当x2≤1，函数为减函数，满足对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2），

此时x1+x2＜2，若x2＞1，∵函数f（x）关于x=1对称，则f（x2）=f（2﹣x2），

则2﹣x2＜1，则由f（x1）＞f（x2）得f（x1）＞f（x2）=f（2﹣x2），

此时函数在x＜1时为减函数，则x1＜2﹣x2，即x1+x2＜2，

即对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2）得x1+x2＜2，反之也成立，

即对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的充要条件，

故选：B