Question

3．函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|是（　　）

• A． 最小正周期为π的奇函数
• B． 最小正周期为π的偶函数
• C． 最小正周期为$\frac{π}{2}$的奇函数
• D． 最小正周期为$\frac{π}{2}$的偶函数

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和周期性的定义分别进行证明即可．

解答 解：f（-x）=|sin（-x）+cos（-x）|+|sin（-x）-cos（-x）|=|-sinx+cosx|+|-sinx-cosx|
=|six+cosx|+|sinx-cosx|=f（x），
则函数f（x）是偶函数，
∵f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）+cos（x+$\frac{π}{2}$）|+|sin（x+$\frac{π}{2}$）-cos（x+$\frac{π}{2}$）|
=|cosx-sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|=f（x），
∴函数f（x）的周期是$\frac{π}{2}$，
故选：D

点评 本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性的求解，利用函数奇偶性和周期性的定义是解决本题的关键．