Question

在平面直角坐标系内已知两点A（-1，0）、B（1，0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q（x，y），且满足•=1．
（Ⅰ）求动点P所在曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B作斜率为-的直线l交曲线C于M、N两点，且++=，试求△MNH的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，y），表示出=（x+1，y），=（x-1，y），利用•=1，即可求得动点P所在曲线C的方程；
（Ⅱ）设出l：y=-（x-1），与椭圆联立方程组，消去y，得2x²-2x-1=0，利用++=，确定H的坐标，计算|MN|，及H到直线l的距离即可求出△MNH的面积．
解答：解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，y）．
依据题意，有=（x+1，y），=（x-1，y）．…（2分）
∵•=1，
∴x²-1+2y²=1．
∴动点P所在曲线C的方程是+y²=1 …（4分）
（Ⅱ）因直线l过点B，且斜率为k=-，故有l：y=-（x-1）…（5分）
联立方程组，消去y，得2x²-2x-1=0．…（7分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得，于是．…（8分）
又++=，得=（-x₁-x₂，-y₁-y₂），即H（-1，-）…（10分）
∴|MN|=，…（12分）
又l：x+2y-=0，则H到直线l的距离为d=
故所求△MNH的面积为S=．…（14分）
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，计算弦长及点到直线的距离是关键．