Question

【题目】定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0 ， 有 f（x0）=x0 ， 则称x0是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0）．
（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A，B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A，B两点关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1，b=﹣2时，有f （x）=x2﹣x﹣3，

令x2﹣x﹣3=x，化简得：x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，或x2=3

故所求的不动点为﹣1或3．（4分）

（2）解：令ax2+（b+1）x+b﹣1=x，则ax2+bx+b﹣1=0①

由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，

即b2﹣4ab+4a＞0恒成立，（6分）

整理得b2﹣4ab+4a=（b﹣2a）2+4a﹣4a2＞0，

故4a﹣4a2＞0，即0＜a＜1

（3）解：设A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），则kAB=1，∴k=﹣1，

所以y=﹣x+ ，

又AB的中点在该直线上，所以 =﹣ + ，

∴x1+x2= ，

而x1、x2应是方程①的两个根，所以x1+x2=﹣ ，即﹣ = ，

∴

= =

∴当a= ∈（0，1）时，bmin=﹣1

【解析】（1）将a=1，b=﹣2代入f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不动点即可；（2）由ax2+（b+1）x+b﹣1=x有两个不动点，即ax2+bx+b﹣1=0有两个不等实根，可通过判别式大于0得到关于参数a，b的不等式b2﹣4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，配方可得b2﹣4ab+4a=（b﹣2a）2+4a﹣4a2＞0恒成立，将此不等式恒成立转化为4a﹣4a2＞0即可．（3）由于本小题需要根据两个点A、B的坐标转化点关于线的对称这一条件，故可以先设出两点的坐标分别为A（x1 ， x1），B（x2 ， x2）（x1≠x2），由斜率公式求得kAB=1，又对称性知直线y=kx+ 的斜率k=﹣1将其代入直线的方程，可以得到x1+x2= ，由此联想到根与系数的关系，由（II）知，x1、x2应是方程ax2+bx+b﹣1=0的根，故又可得x1+x2=﹣ ，至此题设中的条件转化为﹣ = ，观察发现参数b可以表示成参数a的函数即 ，至此，求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．