Question

已知MN为长宽高分别为3，4，5的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的一条直径，P为该长方体表面上任一点，则MN=

 

，

PM

•

PN

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算

专题：空间向量及应用

分析：|MN|=

32+42+52

．如图所示，M（0，0，0），N（4，5，3）．设P（x，y，z）（0≤x≤4，0≤y≤5，0≤z≤3）．可得

PM

•

PN

=

MP

•(

MP

-

MN

)=x²+y²+z²-4x-5y-3z
=（x-2）²+(y-

5

2

)2+(z-

3

2

)2-

50

4

，即可得出．

解答： 解：|MN|=

32+42+52

=5

2

．
如图所示，M（0，0，0），N（4，5，3）．
设P（x，y，z）（0≤x≤4，0≤y≤5，0≤z≤3）．

PM

•

PN

=

MP

•

NP

=

MP

•(

MP

-

MN

)=

MP

2-

MN

•

MP

=x²+y²+z²-4x-5y-3z
=（x-2）²+(y-

5

2

)2+(z-

3

2

)2-

50

4

，
≥0+0+

9

4

-

50

4

=-

41

4

，即x=2，y=

5

2

，z=0时取等号，此时点P在ABCD平面内．
故答案分别为：5

2

，-

41

4

．

点评：本题考查了长方体的性质、外接球的性质、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．