Question

（2009•普陀区二模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，a3=

1

4

．对任意n∈N^*，向量

a

=(1，an)，

b

=(an+1，

1

2

)满足

a

⊥

b

，求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：由

a

⊥

b

，能推导出数列{a_n}为等比数列，公比为-

1

2

．由a3=a1(-

1

2

)2=

1

4

，知a₁=1，所以

lim

n→∞

Sn=

a1

1-q

=

2

3

．

解答：解：由

a

⊥

b

，
得an+1+

1

2

an=0，
故数列{a_n}为等比数列，公比为-

1

2

又a3=a1(-

1

2

)2=

1

4

，
得a₁=1，
所以

lim

n→∞

Sn=

a1

1-q

=

2

3

．

点评：本题考查数列的极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列运算公式的灵活运用．