Question

过直线y=x上的一点作圆x²+（y-4）²=2的两条切线L₁、L₂，当L₁与L₂关于y=x对称时，L₁与L₂的夹角为（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：根据题意画出图形，由过直线y=x上点A作圆B的两条切线关于y=x对称，得到BA与y=x垂直，且∠BAD=∠BAC，根据切线性质得到∠BCA为直角，然后利用点直线的距离公式求出圆心B到直线y=x的距离即为|AB|，而|BC|为圆的半径长，根据一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角为30°，得到∠BAD=∠BAC=30°，进而求出∠CAD的度数，进而两切线的夹角．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
由圆的方程得到圆心B（0，4），圆的半径r=|BC|=|BD|=

2

，
根据两条切线关于y=x对称，得到BA⊥直线y=x，
所以|BA|=

|0-4|

2

=2

2

，
又直线AC和直线AD都为圆B的切线，切点分别为C和D，
所以BC⊥AC，BD⊥AD，即∠BCA=∠BDA=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，BC=BD=

2

，AB=2

2

，
所以∠BAD=∠BAC=30°，
则∠CAD=60°，即两切线的夹角为60°．
故选C

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，切线的性质以及点到直线的距离公式．要求学生利用数形结合的思想，借助图形，充分利用对称性质来解决问题．