Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b的关系式；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，且其图象与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+b，设切点为P（x₀，y₀），
则曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率k=f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b，
由题意，知f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0即a²≥3b．
（Ⅱ）由已知可得x=-1和x=3是方程f'（x）=3x²-2ax+b=0的两根，
∴，，
∴a=3，b=-9．（7分）
∴f'（x）=3（x+1）（x-3），
∴f（x）在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值．
∵函数y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，∴
又f（x）=x³-3x²-9x+c，∴，
解得-5＜c＜27．
分析：（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c．函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，f'（x）=3x²-2ax+b，即该方程有根．△=4a²-12b≥0，则易得a，b的关系式；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，由已知可得x=-1和x=3是方程f'（x）=3x²-2ax+b=0的两根，可以求得a，b，再根据图象与x轴有且只有3个交点，等价于极大值大于0且极小值小于0，则易求c的取值范围．
点评：要明确导数的几何意义，认真读题，了解其题意并结合函数图象列出符合条件的不等式组，例如，若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，且图象与x轴有且只有3个交点，等价于极大值大于0且极小值小于0，这点要结合函数图象去理解．