Question

10．已知函数f（x）=2x-$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）-x+2alnx，且g（x）有两个极值点x₁，x₂，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求导，由g（x）有两个极值点x₁，x₂，g′（x）=0，方程在（0，+∞）内有两个不相等的实根，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=2x-$\frac{1}{x}$-3lnx，（x＞0），
求导f′（x）=2+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{{x}^{2}}$，令f'（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$或x=1，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1时，f'（x）＞0，函数单调递增；
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f'（x）＜0，函数单调递减；
故f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），单调递减区间是（$\frac{1}{2}$，1）；
文（2）：由已知得g（x）=x-$\frac{1}{x}$+alnx，（0，+∞），
g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x²+ax+1=0，
g（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-a＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，解得：a＜-2，
a的取值范围（-∞，-2）．

点评 本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的极值，考查计算能力，属于中档题．