Question

已知直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体．
（1）当∠A=30°时，求此旋转体的体积；
（2）比较当∠A=30°、∠A=45°时，两个旋转体表面积的大小．

Answer 1

分析：（1）直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体，是由两个圆锥组成的几何体，求出圆锥的底面半径，即可求出几何体的体积．
（2）只需比较两个旋转体的底面半径和高的大小，分别求出当∠A=30°、∠A=45°时，两个旋转体表面积的大小．即可比较．

解答：解：（1）直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体，是由两个圆锥组成的几何体，它们的底面半径为：

3

2

，所以旋转体的体积为：

1

3

×π(

3

2

)2×2=

π

2

；
（2）由（1）可知几何体的表面积为：

1

2

×

3

π×(1+

3

)=

3+ 3

2

π．
∠A=45°时，旋转体表面积的大小为：

1

2

×2π×(2

2

)=2

2

π；
显然2

2

π＞

3+ 3

2

π
所以∠A=45°时，旋转体表面积的大．

点评：本题是中档题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，圆锥的表面积和体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．