分析 令f(n)=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$,则f(n+1)=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$+$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$,由于f(n+1)-f(n)=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$-$\frac{1}{n+1}$>0,可得数列f(n)单调递增.即可证明左边.令f(x)=lnx+$\frac{1}{x}$-1,(x>1).利用导数研究其单调性即可证明:lnx>1-$\frac{1}{x}$.令x=$\frac{k+1}{k}$,则ln(k+1)-lnk>$\frac{1}{k+1}$.利用“累加求和”即可证明.
解答 证明:令f(n)=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$,
则f(n+1)=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$+$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$,
∴f(n+1)-f(n)=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$-$\frac{2}{3n+3}$>0,
∴数列f(n)单调递增.
∴$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≤f(n),
∵26<e5,
∴ln2$<\frac{5}{6}$,因此左边成立:ln2<f(n).
令f(x)=lnx+$\frac{1}{x}$-1,(x>1).
f′(x)=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$>0,
因此函数f(x)单调递增,∴f(x)>f(1)=0,
∴lnx>1-$\frac{1}{x}$.
令x=$\frac{k+1}{k}$,则ln(k+1)-lnk>$\frac{1}{k+1}$.
∴f(n)=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$<[ln(n+1)-lnn]+[ln(n+2)-ln(n+1)]+…+[ln(3n)-ln(3n-1)]=ln(3n)-lnn=ln3.
因此右边成立.
综上可得:ln2<f(n)<ln3.
点评 本题考查了数列的单调性、构造函数利用导数研究函数的单调性证明不等式、“累加求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | b<a<c | B. | c<b<a | C. | c<a<b | D. | a<b<c |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{2}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{π}{4}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com