Question

已知点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上运动，N（4，0），点P（x，y）为线段MN的中点．
（1）求点P（x，y）的轨迹方程；
（2）求点P（x，y）到直线3x+4y-86=0的距离的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由线段的中点坐标公式，算出点M（x₀，y₀）即M（2x-4，2y），将M坐标代入圆x²+y²=4并化简，即可得到点P（x，y）的轨迹方程；
（2）根据P的轨迹是以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆，算出C到已知直线的距离，再分别加上、减去半径，即可得到点P到已知直线距离的最大值和最小值．

解答：解：（1）根据线段中点坐标公式，得

2x=x0+4 2y=y0

解得x₀=2x-4，y₀=2y，
∵点M（x₀，y₀）即M（2x-4，2y）在圆x²+y²=4上运动，
∴M坐标代入，得（2x-4）²+4y²=4，
化简得（x-2）+y²=1，即为点P（x，y）的轨迹方程；
（2）∵点P（x，y）的轨迹是以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆
∴求得C到直线3x+4y-86=0的距离d=

|3×2+0-86|

32+42

=16
可得点P（x，y）到直线3x+4y-86=0的距离的最大值为16+1=17，最小值为16-1=15．

点评：本题给出动点的轨迹，求其方程并求点到直线的距离的最值．着重考查了点到直线的距离公式、圆的方程、线段的中点坐标公式和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．